Pengenalan Proper Euler dan Tait-Bryan Angles

Euler angles merupakan tiga sudut yang diusulkan oleh Leonhard Euler untuk menjabarkan orientasi dari sebuah rigid body. Diperlukan tiga buah parameter untuk menjabarkan sebuah orientasi dari 3-dimensional Euclidean space. Ada beberapa cara salah satunya ialah dengan menggunakan Euler angles. Euler angles juga digunakan untuk menjabarkan orientasi dari sebuah frame acuan, sistem koordinat atau basis, relatif terhadap frame lainnya. Tiga sudut tersebut biasanya dinotasikan dengan α, β, γ, atau φ, θ, ψ.
Euler angles merepresentasikan tiga element rotasi, semisal rotasi terhadap sudut-sudut pada sistem koordinat. Untuk contoh penerapannya, rotasi pertama terhadap sumbu x dengan sudut φ, rotasi kedua terhadap sumbu y dengan sudut θ, dan yang rotasi ketiga terhadap sumbu z dengan sudut ψ. Rotasi tersebut dimulai darai standard orientasi yang telah diketahui terlebih dahulu. Dalam sistem fisik, standard orientasi awal biasanya direpresentasikan oleh sistem koordinat yang tidak bergerak atau tetap, sedangkan pada linear algebra digunakan standard basis.
Dengan mengkombinasikan tiga element rotasi tersebut, dapat dicapai orientasi sistem yang beragam. Rotasi elemental dapat terjadi terhadap sumbu pada sistem koordinat yang tetap disebut extrinsic rotations, atau bahkan bisa juga pada sistem koordinat yang mengalami rotasi. Sistem koordinat yang mengalami rotasi tersebut pada awalnya terpaku pada satu koordinat yang tetap, baru kemudian orientasinya akan berubah setiap kali terjadi rotasi elemental, hal ini disebut intrinsic rotations. Dengan mengabaikan apakah rotasi yang terjadi itu intrinsic atau extrinsic, terdapat 12 kemungkinan urutan sumbu rotasi, yang dibagi dalam dua kelompok, yakni.

Proper Euler angles (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
Tait-Bryan angles (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)

Tait-Bryan angles yang diperkenalkan oleh Peter Guthrie Tait dan George H. Bryan, disebut juga dengan istilah Cardan angles, nautical angles, heading, elevation, dan bank, atau roll, pitch, yaw. Tidak jarang dua kelompok urutan tersebut disebut dengan istilah Euler angles. Untuk membedakannya, urutan kelompok pertama biasa disebut proper atau classic Euler angles.
Perbedaan utama antara Proper Euler angles dengan Tait-Bryan angles adalah representasi rotasi terhadap sumbu-sumbu yang digunakan. Lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh.

Proper Euler angles (z-x-z atau z-x'-z")
Tait-Bryan angles (x-y-z atau x-y’-z")

Pada Tait-Bryan angles menggunakan tiga sumbu yang berbeda, sedangkan pada Proper Euler angles sumbu pertama dan sumbu ketiga yang digunakan adalah sama.
Penting untuk memperhatikan urutan dalam melakukan rotasi. Bila urutan rotasi berubah maka hasilnya juga akan berubah. Sebagai contoh.

Dari keadaan awal, lakukan rotasi 90° terhadap sumbu x.
Dilanjutkan rotasi 90° terhadap sumbu y.
Terakhir lakukan rotasi -90° terhadap sumbu x.

Hasil akhir resultan ialah sama dengan melakukan rotasi terhadap sumbu z dari keadaan awal. Bila urutannya diubah hasilnya akan berubah.

Dari keadaan awal, lakukan rotasi 90° terhadap sumbu x.
Dilanjutkan rotasi -90° terhadap sumbu x.
Terakhir lakukan rotasi 90° terhadap sumbu y.

Dua langkah pertama akan saling meniadakan dan mengembalikan ke keadaan awal, sehingga hasil akhir resultan ialah sama dengan melakukan rotasi terhadap sumbu y.