Dalam matematika quaternion merupakan sebuah representasi untuk bilangan kompleks dengan cakupan yang lebih luas. Quaternion pertama kali dikemukakan oleh William Rowan Hamilton pada 16 Oktober 1843. Rowan menghabiskan bertahun-tahun mencoba menemukan sistem bilangan untuk tiga dimensi, akan tetapi ia tidak berhasil. Namun, ketika ia mencoba melihat dari sudut pandang lain, 4 dimensi, ia berhasil menemukan quaternion. Secara garis besar quaternion direpresentasikan dengan persamaan berikut.
- a + bi + cj + dk
Quaternion memiliki bentuk algebra yang menarik, yang mana setiap object terdiri dari 4 variable scalar, yang terkadang disebut dengan Euler Parameter agar tidak membuat bingung dengan Euler angles. Setiap object tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan maupun perkalian sebagai sebuah unit, sama seperti penjumlahan dan perkalian algebra biasa. Namun, ada sedikit perbedaan, berbeda dengan perkalian scalar algebra, pada quaternion tidak berlaku sifat commutative. Quaternion bersifat non-commutative, artinya qa * qb tidak sama dengan qb * qa, dengan qa dan qb merupakan dua buah quaternion.
Unit quaternion disebut juga dengan istilah versor, memberikan notasi matematika yang relatif mudah untuk merepresentasikan orientasi dan rotasi dari sebuah object dalam ruang tiga dimensi. Bila dibandingkan dengan Euler angles, quaternion relatif lebih sederhana dan dapat menghindari masalah gimbal lock. Sedangkan bila dibandingkan dengan rotasi matrix, quaternion memberikan hasil kinerja yang lebih stabil secara numerik dan lebih efisien.
Quaternion biasa diterapkan pada computer graphic, computer vision, robotika, navigasi, dinamika penerbangan, sistem mekanik orbital dari satelit, dan lain sebagainya.
Pada saat digunakan untuk merepresentasikan rotasi, unit quaternion disebut juga dengan istilah rotation quaternion. Sedangkan pada saat digunakan untuk merepresentasikan orientasi (rotasi relatif terhadap koordinat sistem acuan), disebut dengan istilah orientation quaternion atau attitude quaternion.
Sebagai sebuah himpunan, sebuah quaternion H dapat didefinisikan dengan R4, ruang vector empat dimensi. Dengan H dapat diberikan tiga operasi yakni penjumlahan, perkalian scalar, dan perkalian quaternion. Penjumlahan dua buah elemen H didefinisikan sebagai penjumlahan setiap elemen R4. Hasil perkalian scalar setiap elemen H dengan bilangan real, merupakan hasil perkalian scalar pada R4.
Identitas quaternion
- i2 = j2 = k2 = ijk = − 1
- −k = ijkk = ij(k2) = ij(−1)
- k = ij
Hasil perkalian lainnya.
- ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i , ki = j, ik = −j